Mathématiques · 10 min de lecture

Leibniz et le Yi King : les hexagrammes comme arithmétique binaire

En avril 1703, les Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris publièrent un court mémoire de Gottfried Wilhelm Leibniz intitulé « Explication de l'Arithmétique Binaire ». En marge d'un des diagrammes, Leibniz nota que le même système de numération qu'il décrivait — n'utilisant que les chiffres 0 et 1 — avait été découvert quatre mille ans plus tôt en Chine, par le sage légendaire Fou-hi, et conservé dans les 64 hexagrammes du Yi King.

La lettre jésuite de 1701

Leibniz travaillait sur la représentation binaire depuis plus de vingt ans avant d'avoir jamais entendu parler du Yi King. Dès 1679, il avait rédigé un manuscrit, De Progressione Dyadica, esquissant les règles de l'arithmétique en base 2. En 1697, il avait expliqué le système dans une lettre au duc Rodolphe-Auguste de Brunswick-Wolfenbüttel, proposant même une médaille commémorative dont l'inscription porterait imago creationis : Dieu produisant « quelque chose à partir de rien » en engendrant chaque entier à partir de 0 et 1.

Ce qui lui manquait, c'était un interlocuteur capable de voir à quoi servait le binaire. Il en trouva un en la personne de Joachim Bouvet (1656–1730), missionnaire jésuite français qui avait passé plus d'une décennie à la cour de l'empereur Kangxi à Pékin. Bouvet correspondait avec Leibniz depuis 1697 sur les caractères chinois, les mathématiques et la philosophie. Dans une lettre datée du 4 novembre 1701, envoyée de Pékin, Bouvet inclut un diagramme imprimé : l'ordonnance Xiantian (« Antériorité au Ciel ») des 64 hexagrammes attribuée à Fou-hi.

La lettre mit près de quatorze mois à parvenir à Leibniz à Hanovre. Lorsqu'elle arriva, début avril 1703, il l'ouvrit avec l'instinct d'un homme qui attendait une confirmation qu'il n'aurait pu prédire.

Ce que Leibniz vit immédiatement

La séquence de Fou-hi dispose les 64 hexagrammes en une grille carrée de huit par huit, chaque hexagramme étant constitué de six lignes, chaque ligne étant soit brisée (yin, ⚋) soit continue (yang, ⚊). Ce qu'aucun commentateur chinois n'avait jamais formulé tout à fait ainsi — et ce qui sauta aux yeux de Leibniz — c'est que si l'on lit yin comme 0 et yang comme 1, le diagramme est une énumération complète des entiers de 0 à 63 en binaire, lus dans un ordre particulier.

En quelques jours, Leibniz avait écrit à Bouvet — et au père Verjus à Paris, et au président de l'Académie. Ses lettres de cette période sont presque enthousiastes. Il crut avoir retrouvé le sens originel d'un texte ancien que les Chinois eux-mêmes avaient oublié. « Cela montre, » écrivit-il à Bouvet, « que les anciens Chinois ont surpassé les modernes dans tout ce qui concerne la philosophie. »

Les hexagrammes comme nombres binaires

La traduction est mécanique. Lisez chaque hexagramme de bas en haut, à la manière dont la tradition chinoise compte les lignes. Remplacez chaque ligne brisée par 0 et chaque ligne continue par 1. La chaîne de six bits ainsi obtenue est la représentation binaire d'un entier compris entre 0 et 63.

L'arrangement est mathématiquement complet : chaque nombre binaire à six bits, de 000000 à 111111, correspond à exactement un hexagramme. Rien n'est répété, rien ne manque. Pour Leibniz, cette complétude n'était pas une coïncidence ; c'était la preuve que quiconque avait conçu les hexagrammes comprenait le même principe que lui-même avait passé deux décennies à élaborer seul.

Le mémoire de 1703

Leibniz incorpora le diagramme de Fou-hi dans le mémoire qu'il soumit à l'Académie de Paris ce printemps-là. Le titre complet est révélateur : « Explication de l'Arithmétique Binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1, avec des Remarques sur son utilité, et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy ».

« Ce qui est étonnant dans ce calcul, c'est que cette Arithmétique par 0 et 1 se trouve contenir le mystère des lignes d'un ancien Roy et Philosophe nommé Fohy, qu'on croit avoir vécu il y a plus de 4000 ans, et que les Chinois regardent comme le Fondateur de leur Empire et de leurs Sciences. »

— Leibniz, Explication de l'Arithmétique Binaire, 1703

Les chercheurs modernes sont plus prudents que Leibniz à propos de l'affirmation historique. La séquence de Fou-hi n'est pas, à proprement parler, un système de calcul dans aucun texte chinois ancien que nous possédons ; son interprétation mathématique est l'arrangement du philosophe de la dynastie Song Shao Yong au XIᵉ siècle, et non nécessairement l'intention de Fou-hi. Leibniz, communiquant à travers un énorme fossé culturel, a peut-être lu plus dans le diagramme qu'il n'y avait à l'origine.

Et pourtant, le diagramme est ce qu'il dit qu'il est. La correspondance tient. Que les anciens Chinois aient eu l'intention d'une arithmétique binaire ou simplement d'une taxonomie cosmologique, la structure qu'ils produisirent est identique à celle que Leibniz tira des mathématiques pures.

De Fou-hi au silicium

Le système binaire que Leibniz formalisa en 1703 resta dormant pendant deux siècles et demi. C'est l'algèbre de George Boole (1854), le mémoire de master de Claude Shannon au MIT (1937) et les décisions d'ingénierie de John von Neumann et de ses collègues dans les années 1940 qui transformèrent le binaire d'une curiosité mathématique en substrat de tout ordinateur numérique sur terre.

La lignée qui mène des hexagrammes de Fou-hi au processeur de votre téléphone n'est donc ni une chaîne causale directe ni un envol poétique. Leibniz n'a pas emprunté son système binaire à la Chine ; il l'avait déjà. Mais il a reconnu le même système dans le diagramme chinois, et il a traité cette reconnaissance comme significative. Il avait raison de le faire.

Qu'un livre vieux de 3 000 ans de philosophie et de divination se révèle partager sa structure formelle avec le fondement de l'informatique moderne, voilà le genre de fait qui rend la catégorie ultérieure de Jung, la synchronicité, difficile à écarter. Les mêmes hexagrammes qu'un ancien devin tirait avec des tiges d'achillée fonctionnent aujourd'hui, sous une forme différente, sous chaque requête de recherche et chaque ligne de code.